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第 184 章 奇妙的万能公式

新的一天,阳光洒在学堂的窗棂上,戴浩文再次精神抖擞地站在讲台前,准备向学子们传授新的知识——三角函数的万能公式。

“诸位学子,今日咱们要一同探索三角函数中奇妙的万能公式。”戴浩文微笑着开场。

学子们眼中充满好奇,纷纷挺直了身子,准备聆听。

戴浩文拿起粉笔,先画了一个直角三角形,“咱们先从这个特殊的直角三角形说起,假设 t = tan(a\/2),那么这个直角三角形的三边分别为斜边 1 + t2,直角边为 1 - t2和 2t 。”

接着,他在黑板上写下:“sina = 2tan(a\/2) \/ (1 + tan2(a\/2)) ,cosa = (1 - tan2(a\/2)) \/ (1 + tan2(a\/2)) ,tana = 2tan(a\/2) \/ (1 - tan2(a\/2)) 。”

他放下粉笔,看着学子们问道:“大家先看看这几组公式,有何想法?”

一位名叫孙宇的学子率先发言:“先生,这公式看起来甚是复杂,不知从何入手理解。”

戴浩文笑了笑说:“莫急,孙宇。咱们先从最简单的开始。大家想想,tan 函数是什么?”

另一位学子李华回答道:“先生,tan 函数是正弦与余弦的比值。”

戴浩文点头:“不错。那咱们就从这个角度来理解万能公式。咱们还是借助刚刚这个直角三角形,通过三边的关系来推导万能公式。”

他接着说道:“咱们先看 sina 的万能公式,2tan(a\/2) 就是 2t ,而 1 + tan2(a\/2) 就是 1 + t2 ,通过这样的关系和化简,就能得到 sina 。”

学子们听得入神,戴浩文继续讲解:“那再看 cosa 的万能公式,同样利用这个直角三角形三边的关系进行化简,就能得出。”

这时,有学子问道:“先生,这万能公式有何特别之处,为何叫万能公式呢?”

戴浩文回答道:“问得好!这万能公式的妙处就在于,无论给定的是角度还是正切值,都能通过它求出正弦和余弦的值。”

一位名叫周悦的女学子又问:“先生,那在实际解题中如何运用呢?”

戴浩文说:“周悦这个问题很关键。比如,若已知 tana 的值,要求 sina 和 cosa ,就可以直接用万能公式。”

他在黑板上写下一道例题:“已知 tana = 3\/4 ,求 sina 和 cosa 。”

戴浩文看着学子们说:“大家先思考一下,该如何求解。”

片刻后,戴浩文开始讲解:“我们先求出 tan(a\/2) ,然后代入万能公式。”

讲解完例题,戴浩文问道:“大家可明白了?”

学子们有的点头,有的仍面露困惑。

戴浩文耐心地说:“没明白的同学不要着急,咱们再看一道题。”

他又写下一道新的例题,一步一步详细地讲解。

在讲解过程中,不断有学子提出问题,戴浩文都一一耐心解答。

“先生,要是角度不是特殊值,这万能公式是不是更有用?”

“先生,万能公式能用于证明其他的三角函数等式吗?”

戴浩文笑着回答:“同学们的问题都很有深度。对于不是特殊值的角度,万能公式确实能发挥很大作用。至于证明其他等式,当然可以,只要灵活运用。”

课程进行了大半,戴浩文让学子们自己动手做几道练习题,巩固所学知识。

学子们认真做题,戴浩文在教室里巡视,不时给予指导。

“你这里计算有误,再仔细检查一下。”

“这个思路很好,继续往下做。”

做完练习,戴浩文又针对大家出现的问题进行了总结和强调。

临近下课,戴浩文说道:“今日所学的万能公式,还需大家回去多加练习,方能熟练掌握。”

学子们纷纷起身行礼:“多谢先生教导。”

戴浩文微笑着摆摆手:“期待大家都能学有所成。”

随着下课钟声响起,学子们带着新的知识和思考离开了学堂,而戴浩文也开始准备下一次更精彩的授课。

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